Dr. Thomas Füssl
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Denksport-Aufgaben

Aufgabe

Gewicht, Aussehen, Durchmesser usw, nur eine der 12 unterscheidet sich im Gewicht etwas von den 11 anderen.
Es soll mit nur drei Wägungen auf einer Vergleichswaage (Balkenwaage mit je einer Waagschale an den beiden Enden des Waagebalkens) herausgefunden werden, welche der 12 Kugeln "diejenige welche" und ob sie leichter oder schwerer als die 11 anderen ist.

Lösung

Kugeln Nr. 1-4 gegen 5-8 wiegen, dann Kugeln 4-7 gegen 8-11. Es bleiben für den letzten Wiegevorgang max. 3 Kugeln übrig, von denen man bereits weiß, ob sie insg. leichter oder schwerer als drei normale Kugeln sind. Damit läßt sich ent- scheiden, welche Kugel abweicht und in welcher Weise.
Es gibt noch zwei weitere Fälle für die letzte Messung: Kugel 4 ist leichter/schwerer oder Kugel 8 ist schwerer/leichter, zum anderen: Kugel 12 ist leichter oder schwerer. Auch hier läßt sich jeweils durch Vergleich einer Kugel mit einer nachgewiesen normalen Kugel herausfinden, welche die abnormale Kugel ist und ob sie leichter oder schwerer ist.

allgemeinen Lösung:
Unter den gegebenen Voraussetzungen können mit n Wägungen maximal (3^n -3) / 2 Kugeln untersucht werden; also für n=3 gerade 12 Kugeln. Bei 13 Kugeln braucht man auf jeden Fall 4 Wägungen.
Umgekehrt benötigt man bei m Kugeln n Wägungen, wobei n gerade die kleinste Zahl ist, für welche 3^n größer oder gleich 2*m+3 ist.