Dr. Thomas Füssl
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Denksport-Aufgaben

Aufgabe

In einer Spielshow stehen dem Kandidaten drei Tore zur Auswahl. Hinter den Toren zufällig verteilt befinden sich 1 Auto und 2 Ziegen, d.h. nur hinter einem Tor wartet ein Gewinn.
Nachdem der Kandidat sich für eines der drei Tore entschieden hat, läßt der Showmaster ein anderes Tor öffnen, unter dem eine Ziege zum Vorschein kommt. Nun gibt es noch ein Auto und eine Ziege. Der Showmaster läßt dem Kandidaten nun die Wahl zwischen dem bereits gewählten Tor und dem dritten, verbleibenden Tor. Wie sollte sich der Kandidat entscheiden, um wahrscheinlich ein Auto zu gewinnen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit?

Lösung

In 1/3 aller denkbaren Fälle hatte der Kandidat zu Beginn die Tür mit dem Auto gewählt. Dann wäre ein Wechsel schlecht.
In 2/3 aller Fälle hatte der Kandidat zu Beginn eine Tür mit Ziege gewählt. Nun öffnet der Showmaster eine der nicht vom Kandidaten gewählten Türen. Trifft er diese Wahl nun rein zufällig, dann wird er jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/2 die Tür mit dem Auto bzw. die Tür mit der Ziege wählen (in der originalen Fragestellung kämen an dieser Stelle Wahrscheinlichkeiten von 0 bzw. 1). Jedes dieser beiden Ereignisse tritt dann in 2/3 * 1/2 = 1/3 aller Fälle ein. Wir haben dann also drei gleich wahrscheinliche Fälle:
Fall 1: Der Kandidat hatte am Anfang die Tür mit dem Auto gewählt. Wechsel ist nachteilig. (p = 1/3)
Fall 2: Der Kandidat hatte am Anfang eine Tür mit Ziege gewählt, der Showmaster öffnet die andere Tür mit Ziege. Wechsel ist vorteilhaft. (p = 1/3)
Fall 3: Der Kandidat hatte am Anfang eine Tür mit Ziege gewählt, der Showmaster öffnet die Tür mit dem Auto. (p = 1/3)
Laut Voraussetzung ist Fall 3 nicht eingetreten. Es liegt also einer der Fälle 1 oder 2 vor - und jeder von den beiden ist gleich wahrscheinlich, d.h. der Kandidat hat die gleichen Gewinnchancen, ob er nun wechselt oder nicht.
Wird der Showmaster jedoch auf keinen Fall die Tür mit dem Auto öffnen, dann sind die Wahrscheinlichkeiten für obige Fälle jeweils 1/3, 2/3 und 0.

Mathematische Lösung:
Nehmen wir an (ohne Beschränkung der Allgemeinheit), der Kandidat hat Tür A gewählt. Ist der Gewinn hinter A, dann ist der Wechsel schlecht. Dieses Ereignis tritt mit p=1/3 ein. Ist der Gewinn *nicht* hinter A, dann muß der Gewinn hinter B oder hinter C sein. Eine dieser beiden Türen wird geöffnet, und zwar die, hinter der der Gewinn _mit_Sicherheit_nicht_ ist. Dann (also *immer*, wenn der Gewinn *nicht* hinter der zunächst gewählten Tür ist), ist ein Wechsel gewinnbringend. Wahrscheinlichkeit: 2/3.
Mit bedingten Wahrscheinlichkeiten (Satz von Bayes) rechnet man das wie folgt:
Der Kandidat hat zunächst Tür A gewählt und der Showmaster hat Tür B geöffnet. Wir wollen die Wahrsch. berechnen, daß sich der hinter C befindet. Bezeichnen wir das Ereignis "Preis ist hinter Tür C" mit C und das Öffnen von Tür B mit b. Dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit C=1, wenn b eingetreten ist, also 

                  P(b|C=1)*P(C=1)
P(C=1|b)=-------------------------------------
          P(b|C=1)*P(C=1) + P(b|C<>1)*P(C<>1)
Die ex ante Wahrscheinlichkeiten sind: P(C=1)=1/3, P(C<>1)=2/3, weil es ja drei Türen sind.
P(b|C=1)=1, da der Kandidat A wählte. Dann kann der Showmaster nur noch Tür B öffnen, wenn der Preis hinter C ist.
P(b|C<>1)=1/4. Wenn der Preis nämlich nicht hinter C ist, ist er hinter A oder hinter B mit gleicher Wahrscheinlichkeit (je 1/2). Wenn der Preis hinter B ist, wird diese Tür nicht geöffnet, also Wahrscheinlichkeit null. Wenn der Preis hinter A ist, öffnet der Showmaster B oder C mit gleicher Wahrscheinlichkeit von je 1/2. Formal also 1/2 * 0 + 1/2 * 1/2 = 1/4.
Einsetzen in P(C=1)|b) ergibt 2/3. Ein Wechsel ist also vorteilhaft. Daß es nicht egal ist, ob man wechselt oder nicht, kann man leicht durch eine gedankliche Erweiterung des Spieles sehen:
Stell wir uns vor, es seien nicht drei Türen, sondern 1000. Wir wählen eine aus (es gibt einen Preis und 999 Nieten). Sodann öffnet der Showmaster 998 Türen, hinter denen der Preis mit Sicherheit *nicht* ist. Sollte man dann immer noch nicht wechseln wollen?